இலியானாவும் இரண்டு எருமை மாடுகளும்

 

4692151

ஒரு ரியாலிட்டி டிவி நிகழ்ச்சி.  போட்டியை சூரியா நடத்துகிறார்.

போட்டி இதுதான். உங்கள் முன்னே மூன்று மூடிய அறைகள் இருக்கின்றன. A, B, C. அதிலே இரண்டு அறைகளுக்கு பின்னே எருமை மாடுகள் நிற்கின்றன. ஒரு அறைக்குப்பின்னே இலியானா.

நிற்க, நீங்கள் பெண் போட்டியாளர் என்றால் இலியானாவுக்கு பதிலாக உங்களுக்கு பிடித்த அப்பாஸோ, அமெரிக்க மாப்பிள்ளையோ அல்லது சிவகார்த்திகேயனோ இருக்கிறார் என்று நினைத்துகொள்ளுங்கள். யாராவது சமூக போராளி, சீர்திருத்தவாதி, எப்படி இலியானாவை எருமைமாட்டையும் ஒரே போட்டியில் நிறுத்தலாம்? என்று அறச்சீற்றம் கொண்டு தாலி அறுக்க முடிவு செய்தால் இப்போதே பிரவுசரை குளோஸ் பண்ணிவிட்டு எஸ்கேப்பாகிவிடுங்கள். இங்கே பிரச்சனை யார் என்பது அல்ல. இரண்டு அறைகளுக்குள் இரண்டு ஒரே மாதிரி விஷயம். மூன்றாவதற்குள் இன்னொரு வேறான விஷயம்.

மீண்டும் போட்டிக்கு வருவோம். ஒரு அறைக்குள் இலியானா. ஏனைய இரு அறைகளுக்குள்ளும் எருமை மாடுகள். யார், எது எந்த அறைக்குள் என்று சூரியாவுக்கு தெரியுமே ஒழிய, உங்களுக்கு தெரியாது.

இப்போது உங்களை ஒரு அறையை தேர்ந்தெடுக்குமாறு சூரியா சொல்கிறார். நீங்கள் தேர்ந்தெடுத்த அறைக்குள் இலியானா இருந்தால் அவரோடு ஒருநாள் டேட்டிங் போகலாம். எருமை மாடு சிக்கினால் மேய்ச்சலுக்கு கூட்டிக்கொண்டுபோகவேண்டும். இதுதான் விதிமுறை.  குளூ எதுவும் கொடுக்கப்படாது. ஒரு அறையை எழுமாற்றாக தெரிவு செய்யவேண்டும்.

நீங்கள் ஒரு அறையை டக், டிக், டோஸ் போட்டு தெரிவு செய்கிறீர்கள். அதை அறை A  என்று வைப்போம். அந்த அறை A இனுள் இலியானா இருப்பதற்கான சான்ஸ் என்ன?

சின்னக்கணக்குத்தான். மூன்றில் ஒரு சான்ஸ். முப்பத்து மூன்று வீதம். ஏனைய இரு அறைகளில் ஒன்றினுள் இலியானா இருக்கும் சாத்தியம் அறுபத்தாறு வீதம். மூன்றில் இரண்டு சான்ஸ். குழப்பமில்லாத பள்ளிக்கால நிகழ்தகவு கணக்கு.

அறை A உங்களுடைய தெரிவாக தீர்மானித்தாகிவிட்டது அல்லவா. இப்போது எஞ்சியிருக்கும் இரண்டு அறைகளில் ஒரு அறையில் எருமை இருக்கிறது என்று சொல்லி அதனை சூரியா திறந்துவிடுகிறார். அதனை அறை C என்று வைப்போம். அப்படியென்றால் மீதமிருக்கும் அறை B யிலோ அல்லது நீங்கள் தேர்ந்தெடுத்த அறை A யிலோதான் இலியானா இருக்கவேண்டும். A அல்லது B. நீங்கள் தேர்ந்தேடுத்ததோ A. இப்போது சூரியா உங்களுக்கு இன்னொரு சந்தர்ப்பம் கொடுக்கிறார். உங்களுக்கு விருப்பம் என்றால் உங்கள் தெரிவை அறை A இலிருந்து அறை B க்கு மாற்றலாம் என்று கூறுகிறார்.

நீங்கள் என்ன செய்வீர்கள்? அறை Bக்கு மாறுவீர்களா? அல்லது மாற்றுவதால் எந்தப்பயனும் இல்லை என்று A தான் என்னுடைய பைனல் தெரிவென்று அடித்துக்கூறுவீர்களா?

இலியானா இல்லாட்டி எருமை மேய்ப்பு! நன்றாக யோசியுங்கள். அதற்குள் சில விடயங்களைப்பற்றி கொஞ்சம் ஆராய்வோம்.

பூவா? தலையா?


monty

நிகழ்தகவு (Probability) என்பது நாங்கள் எல்லோருமே பள்ளியில் படித்த பாடம்.  தீர்மானமாக ஒன்றைச் சொல்லாமல் சாத்தியங்களை மட்டுமே கணிக்கின்ற கணிதம். இது கணிதத்தத்துவத்துக்கு கொஞ்சம் முரணான ஒரு விடயம். கணிதம் என்பதே ஊகங்களுக்கு இடம் கொடுக்காத நிறுவல்கள் மூலம் முடிவுகளை புனையும் ஒரு துறை. கணிதத்துக்கும் விஞ்ஞானத்துக்குமிடையிலான அடிப்படை வித்தியாசமே, கணிதம் எதையுமே தீர்மானமாக சொல்லும். கணிதத்தில் ஒருமுறை தீர்மானமாக ஒன்றை நிறுவிவிட்டால் அது எக்காலத்திலும் மாறாத ஒன்றாகிவிடும். 

விஞ்ஞானம் அப்படியல்ல.  அது பரிசோதனை சார்ந்த அனுமான வடிவம். ஓரளவுக்கு எல்லோரும் ஏற்றுக்கொண்டு, பரிசோதனைகளும் அதனை நிரூபித்துவிட்டால் அது விதியாகிவிடும். கோர்ட்டிலே இருக்கிற சாட்சியங்களைக்கொண்டு ஜட்ஜு தீர்ப்பு சொல்வதுபோன்றது. ஆனால் சமயத்தில் சில சட்டங்களில் விஞ்ஞானத்தின் முடிவுகள் சறுக்கிவிடும். விஞ்ஞானம் காலத்துக்குகாலம் முடிந்த முடிபுகளை மாற்றிக்கொண்டே வந்திருக்கிறது. பூமி தட்டையானது, உருண்டையானது, நேரம் சீரானது, சார்பானது, பிரபஞ்சத்தின் ஆகச்சிறிய அலகு அணு, அதன்பிறகு கரு, குவார்க், தேங்காய்ப்பூவின் கொலஸ்ட்ரோல்  உடலுக்கு நல்லதா கெட்டதா என்று விஞ்ஞானம் தன்னுடைய முடிவுகளை திருத்தியோ அல்லது முற்றாகவோ மாற்றியமைத்தே வந்துள்ளது. இப்போதுகூட பிரபஞ்சம் எப்படி ஆரம்பித்திருக்கலாம் என்பதற்கு ஆயிரத்தெட்டு விஞ்ஞான விதிகள் இருக்கின்றன.

கணிதத்தில் இந்த ஆட்டம் செல்லுபடியாகாது. ஒரு தீர்வுக்கு பத்து நிறுவல்கள் செல்லாது. அனுமானம் என்ற கதைக்கே இடமில்லை. கணிதம் ஒன்றை உறுதியாக நிறுவும் வரையிலும் அதனை ஏற்றுக்கொள்ளாது. அதனாலேயே இந்தியர்களும் அரேபியர்களும் கண்டறிந்த பூச்சியத்தை ஐரோப்பிய கணிதமேதைகள் பலகாலமாக நிராகரித்தார்கள். இந்துக்கள் பயன்படுத்திய எதிர்மறை எண்கள் ஒரு கேலிக்கூத்து என்று ஐரோப்பியர்கள் எள்ளி நகையாடினார்கள். ஏனெனில் எதிர்மறையை நிறுவி ஏற்றுகொள்வது கடினமானது. ஆனால் கணிதத்தில் ஒன்றை தீர்க்கமாக நிறுவியபின்னர் அது மாறுவதற்கு சந்தர்ப்பம் மிக அரிது. பூச்சியத்தால் ஒரு இலக்கத்தை வகுக்கும்போது வருவதே முடிவிலி என்ற முடிவு எட்டும்வரை பூச்சியத்தை ஒரு தீர்மானமான வரையறைக்குள் கொண்டுவர பலரால் முடியவில்லை. பேர்மட்டின் இறுதி சமன்பாடு சாத்தியமில்லை நிறுவுவதற்கு கணிதவியலாளர்களுக்கு முன்னூறு வருடங்கள் பிடித்தன. அதனை இன்னொருநாள் பார்ப்போம்.

இப்படி தீர்க்கமற்ற விசயங்களை ஏற்றுகொள்ளாத கணிதம் எப்படி சாத்தியங்களை மாத்திரமே சொல்லுகின்ற நிகழ்தகவை ஏற்றுக்கொண்டது? பேர்டராண்ட் ரசல் ஒருமுறை சொன்னது இது.

“How dare we speak of chance? Is not chance the antithesis of all law?”

உண்மைதான். ஆனால் நிகழ்தகவு என்பது தீர்க்கமற்ற ஒன்றல்ல. நிகழ்தகவு என்பதை தீர்க்கமாக நிறுவலாம். ஒரு நாணயத்தை சுண்டும்போது தலை விழுவதற்கான சாத்தியம் எப்போதுமே ஐம்பது வீதம்தான். அது தீர்க்கமானது. குழப்பமில்லை. ஒரு கூடைக்குள் அறுபது சிவப்பு பந்துகளும் நாற்பது கறுப்பு பந்துகளும் இருக்கின்றன. எழுமாற்றாக எடுக்கப்படும் ஒரு பந்து சிவப்பாக இருப்பதற்காக சாத்தியம் அறுபது வீதம். எந்தக்குழப்பமும் இல்லை. காரணம் அதனை கணிப்பதற்கான தேவையான தகவல்கள் முழுதும் எம்மிடம் இருக்கின்றன.

நாணயம் சுண்டுதல், கூடைக்குள் பந்து போன்ற டிரெக்ட்டான நிகழ்தகவுகளை கணிப்பது எங்கள் சாதாரண மூளையால் சாத்தியமே. ஆனால் நாளைக்கு மழை வருமா என்பதை கணிக்க நம் மூளை உள்வாங்கும் அன்றாட தகவல்கள் போதுமானதில்லை. அதற்கு நிறைய டாட்டா தேடவேண்டும். தகவல்கள் அதிகமாக, நிகழ்தகவை துல்லியமாக கணிப்பது இலகுவாகும். வரலாறு என்பது நிகழ்தகவு கணிப்புக்கு மிக முக்கியமானது.

நிகழ்தகவு ஆதிகாலம் முதல் இருந்தாலும் அதனை ஒருவித கணித விதிகளுக்குள் கொண்டுவந்தவர்கள் பஸ்காலும் பேர்மட்டும்தான். ஒரு சூதாட்டவாதிக்கு உதவும் முகமாக செய்யப்பட வேலை இது. ஒரு கசினோவிலே இரண்டுபேர் சூது ஆடிக்கொண்டிருக்கிறார்கள். ஆட்டத்தை இடை நடுவில் கைவிடவேண்டிய நிலை வருகிறது. சூதுப்பணத்தை ஐம்பது ஐம்பதாக பிரிப்பதென்றால் அது நியாயமில்லை. பெரிய பணம். கைவிடும் நிலையில் ஆட்டத்தின் போக்கில் யாருக்கு வெற்றிவாய்ப்பு அதிகம் என்ற வீதத்தில் பணத்தை பிரிக்கவேண்டும். இதற்கு பஸ்கால், ஆட்டத்தின் நிலையை கணக்கிலெடுத்து, அது கைவிடப்படாமல் தொடர்ந்து விளையாடப்பட்டிருந்தால் யார் வென்றிருப்பார்கள் என்கின்ற நிகழ்தகவை கணித்தாராம். அந்த நிகழ்தகவின் படி வெற்றிப்பணம் இருவரிடம் பிரித்துக்கொடுக்கப்பட்டது. கிரிக்கட்டின் டக்ளஸ் லூயிஸ் முறைகூட அப்படியானதுதான். ஆனால் அது எல்லா நிலைகளையும் கணக்கிலெடுக்க தவறிவிடுவதால் சமயத்தில் அதன் எதிவுகூறல் ஓட்டங்கள் நியாமாக இருக்கத்தவறிவிடும்.

ஆக நிகழ்தகவின் துல்லியம் என்பது அது பயன்படுத்தும் தரவுகளில் தங்கியிருக்கிறது. அதனால்தான் நிகழ்தகவோடு ஸ்டடிஸ்டிக்சையும் சேர்த்து படிப்பிப்பார்கள்.

காலநிலை மாற்றம், ரிஸ்க் மனேஜ்மெண்ட் மற்றும் பொருளியலில் நிகழ்தகவினை அதிகமாக பயன்படுத்துவார்கள். பங்குச்சந்தையின் உயிரோட்டமே நிகழ்தகவுதான். சுகிந்தன் அண்ணா வேலை செய்யும் நிறுவனம் அப்படிப்பட்டது. அவரின் வேலையே பங்குவிலைகளின் ஏற்ற இறக்கத்தை அனுமானிக்கும் அல்கோரிதங்களை வடிவமைத்து மென்பொருளை தயாரிப்பது. டெராபைட் கணக்கில் கிடைக்கும் பங்கு விவரங்களை ஆராய்ந்து அவற்றின் விலைகளை எதிர்வுகொள்ளும் அல்கோரிதங்களை எழுதுவது. பின்னர் அந்த மென்பொருள் சொல்வதற்கேற்ப பங்குகளை வாங்கி விற்றால் இலாபம். இது அஞ்சு டொலர் பத்து டொலர் பிஸ்னெஸ் கிடையாது. மில்லியன் கணக்கில் பங்குகளை இந்த அல்கோரிதங்கள் சொல்வதைக்கேட்டு வாங்கி விற்பார்கள். சொதப்பினால் மில்லியன் டொலர்கள் கண்களுக்கு முன்னாலேயே காணாமல் போய்விடும்.

 

உன்னை நம்பாதே. எண்ணை நம்பு!

எதிர்வுகூறுதல், அல்லது நிகழ்தகவை கணிப்பது அவ்வளவு எளிதல்ல. நம் பகுத்தறிவுக்கு நிகழ்தகவு அல்வா கொடுத்துவிடும். முதலில் நம்மை நம்பாமல் நம்பரை நம்ப வேண்டும். உதாரணத்துக்கு ஒரு சின்ன கேள்வி.

உங்கள் வகுப்பில் முப்பது மாணவர்கள் இருக்கிறார்கள். அவர்களில் இரண்டு மாணவர்களுக்கு ஒரே நாளில் பிறந்தநாள் வருவதற்கான வாய்ப்பு என்னவாக இருக்கும்?

birthday-paradox

இந்தக்கேள்விக்கு எப்படி யோசிப்போம்? என் பிறந்தநாள் ஜூன் பதினான்கு என்றால், என் பிறந்தநாளிலேயே இன்னொருவனுக்கு பிறந்தநாள் வர எவ்வளவு சாத்தியம் இருக்கும்? மிச்சமிருக்கும் இருபத்தொன்பது மாணவர்களில் ஒருவருக்கு ஜூன் பதினான்கில் பிறந்தநாள் வரவேண்டும். அதாவது முன்னூற்று அறுபத்தைந்து நாட்களில் இருபத்தொன்பது. பத்து வீதத்துக்கும் குறைவு. இப்படித்தான் யோசிப்போம் அல்லவா. ஆனால் நிஜத்தில் முப்பது பேர்கள் உள்ள வகுப்பில் இரண்டுபேர்களுக்கு ஒரே நாளில் பிறந்தநாள் வருவதற்கான நிகழ்தகவு எழுபதுவீதத்துக்கும் அதிகம். நம்ப முடியவில்லையல்லவா.

இதைவிட விவகாரமான ஒரு புதிரை சொல்லுகிறேன்.

“தர்மசீலனுக்கு இரண்டு பிள்ளைகள் இருக்க்கிறார்கள். மூத்த பிள்ளை செவ்வாய்க்கிழமையில் பிறந்த ஆண் பிள்ளை. தர்மசீலனின் இரண்டாவது பிள்ளையும் ஆணாக இருப்பதற்கான சாத்தியம் என்ன?

செவ்வாய் பிறந்தாலென்ன, புதன் பிறந்தாலென்ன, ஒரு குழந்தை ஆணாக பிறப்பதற்கான சந்தர்ப்பம் ஐம்பது வீதம்தான் என்பீர்கள். உண்மைதான். ஆனால் இங்கே இரண்டு குழந்தைகள், ஒரு குழந்தை ஏலவே ஆண். ஆக கொஞ்சம் டீப்பாக யோசித்தால் இரண்டு குழந்தைகளும் ஆணாக இருப்பதற்கான சாத்தியம் முப்பத்து மூன்று வீதம் என்பீர்கள். அதுகூட தவறுதான். அந்த செவ்வாயில் மாட்டர் இருக்கிறது. முதல் குழந்தை செவ்வாய்க்கிழமை பிறந்த ஆண் என்ற தரவு, அடுத்த குழந்தை ஆணாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவுக்கு துணை போகிறது. நீண்ட நிறுவல் ஒன்றை செய்யலாம். இதை வாசிக்கும் ஓரிருவரும் எஸ்கேப் ஆகிவிடுவீர்கள் என்பதால் இணைப்பு தருகிறேன். மண்டை காய்வதும் விடுவதும் உங்கள் இஷ்டம்.

இப்படி நிகழ்தகவுகள் நம் பகுத்தறிவுக்கு முரணான விடைகளை தருவது ஆச்சரியமானது. மனிதனின் மூளையே நிகழ்தகவை அடிப்படையாகக்கொண்டே இயங்குவது. ஆதிமனிதன்கூட இதை பயன்படுத்தியிருப்பான். ஒரு மிருகத்தை வேட்டையாட தீர்மானிக்கையில் அது திருப்பித்தாக்க எவ்வளவு சந்தர்ப்பம் இருக்கிறது என்று அவன் மூளை கண நேரத்தில் முடிவெடுக்கவேண்டி வந்திருக்கும். ஆரம்பத்தில் அவனும் தவறு விட்டிருப்பான். புலிக்கு கொம்பில்லை. மானுக்கு கொம்பிருக்கும். ஆரம்பத்தில் அவன் புலி ஆபத்தில்லை என்றே அனுமானித்திருப்பான். ஒருநாள் அவன் சகபாடி கடித்து குதறப்படுவதை கண்டபின்னர் மூளை சுதாரித்திருக்கும். மான் கொம்புள்ளது குத்திவிடும் என்று பயந்த்திருப்பான். பின்னர் மான் மூர்க்கமான மிருகமில்லை என்பது தெரிந்திருக்கும். மூளையில் முன்னர் அவனுக்கு பதிந்திருந்த டாட்டாவை வைத்து அவன் கணித்த நிகழ்தகவு தவறாகிப்போயிருக்கும். பின்னர் டாட்டாவை அப்டேட் பண்ணியிருப்பான்.

தரவுகள் மூளையில் ஏற ஏற கணிப்பு துல்லியமாகும்.

பற்றாக்குறைக்கு ஹொர்மோன்கள் வேறு, நிகழ்தகவுக்கு எதிராக இயங்கிக்கொண்டேயிருக்கும். பதினாறு வயதில் வருவது காதல் இல்லை வெறும் ஈர்ப்புத்தான் என்று எந்த கழுதைக்கும் தெரிந்திருக்கும். இருந்தாலும் முன்வீட்டு கோமதியைக்கண்டவுடன் கூட்டிக்கொண்டு சுவிற்சலாந்து சென்று ரெண்டு டூயட் பாடாவிட்டால் இவனுக்கு பத்தியப்படாது. அவளும் கொஞ்சம் சிரித்துவைத்தால், இழுத்துக்கொண்டு ஓடி, அடுத்த வருடம் குழந்தைபெற்று, இருபத்திரண்டு வயதில் பிள்ளையை நேர்சரிக்கு கூட்டிக்கொண்டுபோகையில்தான் தன்னுடைய நிகழ்தகவு கணிப்பு எக்கச்சக்கமாக பிழைத்துப்போனதை அவன் அறியத்தொடங்குவான். மூளை திட்டமிட்டே செய்யும் தவறான கணிப்பு இது. Survival of the fittest என்ற வஸ்துக்காக இயற்கை ஏற்படுத்தும் cognitive bias. மூளையின் முக்கிய சிக்கல் எதுவென்றால் அது தனது ஆழ்மனது இச்சை சார்ந்தே செயற்படும். அதில் நிறைய சுயநலம் இருக்கும். ஒரு முடிவை எதிர்பார்த்தே அதன் இயக்கம் நிகழும். சமயத்தில் அந்த எதிர்பார்ப்பு அதிகமாகையில் மூளை நிஜத்திலிருந்து விலகும். தனக்கு தேவையான டாட்டாவை மட்டும் தேர்ந்தெடுத்து ஆய்வுசெய்து தனக்கு தேவையான முடிவை எடுக்கும். அதனால்தான் எந்தப்பெரிய அறிவாளியும் காதல் என்ற சனியன் வந்துவிட்டால் தடுமாறுவான். அந்த வகுப்பறை பிறந்தநாள் கணக்கில்கூட நாம் நம் பிறந்தநாளில் வேறு எவனுக்கு பிறந்தநாள் வரலாம் என்று யோசித்தோமே ஒழிய, ரமேசுக்கும் சுரேசுக்கும் ஒரே நாளில் வரலாம்தானே என்ற சாத்தியத்தை ஆராயவில்லை.

இந்த சுயநலம் கணிதசமன்பாட்டுக்கு கிடையாது. கணிதத்துக்கு இச்சை கிடையாது. அதற்குத்தேவை தெளிவான தீர்மானமான சட்டம் மற்றும் நிறுவல். அதனாலேதான் நிகழ்தகவு விசயத்தில்,

உன்னை நம்பாதே. எண்ணை நம்பு.

இந்துமதத்தின் சாத்திரம் மற்றும் காண்டம் போன்ற விசயங்களில் இருக்கும் வரலாற்று குறிப்புகளோடு அவர்கள் சொல்லுகின்ற எதிர்வுகுரலுக்கும் இந்த நிகழ்தகவுக்கும் இடையில் ஏதாவது உண்மை இருக்கலாமா என்று ஒரு கணிதவியலாளர் உணர்ச்சிவசப்படாமல் ஆராய்ச்சி செய்யவேண்டும். இந்தவகை ஆராய்ச்சிகளை நெறிப்படுத்தும் “தில்” எங்கள் ஊர் கணிதபீடங்களுக்கு இருக்கவேண்டும். இல்லாவிட்டால் வெள்ளைக்காரன் ஒருநாள் இவற்றை லவட்டிவிடுவான்!

இறைவெண்!


பைதகரஸ் தியரம் என்றால் அட்லீஸ்ட் ஏதோ ஒரு முக்கோணத்துடன் சம்பந்தப்பட்ட விஷயம் என்றாவது எல்லோருக்கும் தெரிந்திருக்கும். பைதகரஸ் கணிதத்தின் துரோணாச்சாரியார். கிரேக்கத்தைச் சேர்ந்த கிறிஸ்துக்கு முன் ஐந்தாம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த பெரும் கணிதமேதை. எண்களின் மீது பைதகரசுக்கு தீராத காதல் இருந்தது. இயற்கையின் டிசைனில் எல்லாமே எண்கள் என்றார். அவருடைய கல்வி நிறுவனத்தில் எண்ணை கடவுளின் தூதராக வழிபட்டார்கள். பைதகரஸ் எண்களை ஆய்வுசெய்வதன் மூலம் கடவுளை நெருங்கலாம் என்றார். இயற்கை முழு எண்களாலும் பகுதி எண்களாலும் (fraction) வடிவமைக்கப்பட்டிருக்கிறது என்றார். ஒருமுறை இலக்கம் இரண்டின் வர்க்கமூலத்தை முழு எண்ணாகவோ பகுதி எண்ணாகவே நிர்ணயிக்கமுடியாது என்று நிறுவிய மாணவனை, அவனுடைய நிறுவல் தன்னுடைய கொள்கைக்கு எதிரானது என்று கருதி, தவறு கண்டுபிடிக்கமுடியாமல் தண்ணீருக்குள்ளேயே மூழ்கி சாகடித்தார் பைதகரஸ்!

pythagoras-569-475-bc-grangerவழமைபோல பைதகரஸின் வளர்ச்சி பிடிக்காமல் ஆட்சியாளர்கள் அவரை துரத்த, அவரும் மாணவர்களும் இத்தாலிக்கு இடம்பெயர்ந்தார்கள். அங்கே அவர் கிட்டத்தட்ட அப்பிள் மாதிரி கொம்பனி நடத்தினார். திறமைசாலி மாணவர்களை வடிகட்டி அனுமதிப்பார். அப்படி தெரிவு செய்யப்பட்டவர்கள் தங்கள் சொத்து முழுவதையும் கல்வி நிறுவனத்துக்கு கொடுத்துவிடவேண்டும். பின்னர் ஏதோ ஒரு காரணத்தால் அவர்கள் விலக முடிவெடுத்தால், முதலில் கொடுத்த சொத்துபோல இரண்டு மடங்கு அவர்களுக்கு திருப்பிக்கொடுக்கப்படும். கூடவே சிலையும் எழுப்பப்படும்! ஆனாலும் மாணவர்கள் அங்கேயே இருந்து புதிது புதிதாக கண்டுபிடிப்பார்கள். கண்டுபிடித்ததை வெளியே சொல்லக்கூடாது என்ற இரகசிய காப்புபிரமாணம் வேறு அவர்கள் எடுக்கவேண்டும். இதனாலேயே பைதகரஸின் அமைப்பு கண்டுபிடித்த பல கணித கூறுகள் வெளியே தெரியாமலேயே போகின.

எண்தான் கடவுள் என்று ஏன் பைதகரஸ் நம்பினார் என்று விளக்க ஒரு புத்தகமே போடலாம். பைதகரஸ் சில எண்களை தனித்துவமானது என்று கருதினார். உதாரணத்துக்கு ஆறு. ஆறின் காரணிகள் 1, 2, 3. அவற்றை கூட்டினால் வருவதும் ஆறு. இருபத்தெட்டை எடுங்கள். அதன் காரணிகள் 1, 2, 4, 7, 14. கூட்டினால் வருவதும் இருபத்தெட்டு. இப்படி காரணிகளின் எண்ணிக்கை அதே எண்ணாக வருவதை ஆங்கிலத்தில் perfect number என்பார்கள். இவை மிக அரிதான எண்கள். இருபத்தேட்டுக்கு அடுத்தது நானூற்றிதொண்ணூற்றாறு!

இந்த எண்களை சுற்றி நிறைய நம்பிக்கைகள் இருக்கின்றன. அந்தக்காலத்தில் சந்திரனின் சுற்றுபயணம் இருபத்தெட்டு நாட்கள் என்று வகுத்திருந்தார்கள். கடவுள் இதனை திட்டமிட்டே டிசைன் பண்ணினார் என்றார்கள். ஐந்து நாளில் கடவுள் மனிதனை படித்திருந்தாலும் perfect number வரவேண்டும் என்பதற்காக ஆறாவது நாளும் காத்திருந்துவிட்டே வெளியே விட்டாராம் என்றும் உட்டலாக்கடிகள் இருக்கின்றன. பைதகரஸ் இவற்றை எல்லாம் நம்பியிருப்பாரா என்பது சந்தேகமே.

கொஞ்சம் சீரியஸான விஷயங்கள் என்றால் ஒலி அடிப்பு, இசைக்கருவியின் மீடிறன், ஹார்மனி போன்ற பௌதீக கணிதங்களை பைதகரஸ் இனம் கண்டுகொண்டது, எண்தான் கடவுளின் தூதுவன் என்ற அவருடைய நம்பிக்கைக்கு மேலும் மேலும் வலு சேர்த்தது. பைதகரஸின் விதி பற்றி சொல்லவேவேண்டாம். ஆற்றுப்படுக்கை, வெள்ள அடிப்பு என்று பல விடயங்களில் அதை இயற்கையிலேயே கவனிக்கலாம். அடுத்தது இந்த பை எண். இப்படி இயற்கை முழுதும் பைதகரஸ் கணிதத்தைக் கண்டார்.

அடுத்தது முதன்மை எண்கள். தன்னாலும் ஒன்றாலும் மாத்திரமே வகுபடக்கூடிய எண்கள். உதாரணத்துக்கு 2, 3, 5, 7, 11 .. இப்படி முடிவிலி வரையும் இது தொடரும். இந்த எண்களை கொம்பியூட்டர் செக்கியூரிட்டியில் இம்மை மறுமை இல்லாமல் பயன்படுத்துவார்கள். அதற்கான காரணங்கள் இப்போது வேண்டாம்.

இயற்கையும் கூர்ப்பும் இந்த முதன்மை எண்ணை ஒரு இடத்தில் மிக அழகாக பயன்படுத்துகிறது. மிரளவைக்கும் உதாரணம் அது.

வட அமெரிக்காவில் சிககாடா என்ற ஒரு பூச்சி இருக்கிறது. அது பதின்மூன்று அல்லது பதினேழு வருடங்களுக்கு நிலத்துக்கு கீழே மரவேர்களை உறிஞ்சி உண்டு புழுவாகவே வாழ்ந்துவிட்டு பின்னர் வெறும் நான்கு வாரங்களுக்கு அள்ளு கொள்ளையாக நிலத்துக்கு வெளியே பறந்துவந்து, சோடிகட்டி முட்டைபோட்டுவிட்டு இறந்துவிடும். பதினேழு வருடங்கள் புழுவாக வனவாசம். அப்புறம் வெறும் நான்கே வாரங்களில் வாழ்க்கையை அனுபவித்துவிட்டு மரணம். ஏன் இந்த கொடுமை என்றால், ஆராய்ச்சியாளர்கள் முதன்மை எண்களை காரணப்படுத்துகிறார்கள்.

யோசியுங்கள். சிக்காடாவை சாப்பிட்டு உயிர்வாழும் இன்னொரு பூச்சி மண்ணுக்கு வெளியே வசிக்கிறது. இது எப்போது சிக்காடா வெளியே பறந்து வந்தாலும் பிடித்து சாப்பிட்டுவிடும். அதனுடைய வாழ்க்கை வட்டம் இரண்டு ஆண்டுகள் என்றால் சிக்காடோ இரட்டை எண் ஆண்டுகளில் வெளியே வந்தால் கொல்லprimedப்பட்டுவிடும். மூன்று ஆண்டுகள் என்றால் ஆறு ஆண்டுகளுக்கொருமுறை அது அழிய சந்தர்ப்பம் உண்டு. அடிச்சு சாப்பிடும் பூச்சியின் வாழ்க்கை வட்டம் மூன்று ஆண்டுகள் என்றால் சிக்காடோவின் வாழ்க்கைவட்டம் மூன்றின் மடங்காக எப்போது வருமோ அப்போது பிடிபட்டுவிடும். கிட்டத்தட்ட நாங்கள் பங்கருக்குள் இருந்து பிளேன் அடுத்த ரவுண்டு வருவதற்குள் ஓடிப்போய் தண்ணீர் குடித்துவிட்டு வருவதுபோலத்தான்.

இந்த சிக்கலுக்காகவே சிக்காடோ கூர்ப்படைந்து முதன்மை எண்ணில், அதிலும் பதின்மூன்று, பதினேழு போன்ற நீண்ட முதன்மை எண்களில் வாழ்க்கை வட்டத்தை கொண்டிருக்கிறது என்கிறார்கள். அந்த வாழ்க்கை வட்டத்துக்குள் சிக்குவது என்பது கடினம். உதாரணத்துக்கு சிக்காடவை உண்டு பிழைக்கும் பூச்சியின் வாழ்க்கை வட்டம் இரண்டு வருடங்கள் என்று வையுங்கள், அது முப்பத்துநான்கு வருடங்களுக்கு ஒருமுறைதான் சிக்காடோவை சந்திக்கமுடியும். மூன்று வருடங்கள் என்றால் ஐம்பத்தொரு வருடங்கள். காத்திருந்து காத்திருந்து காலங்கள் போகவேண்டியதுதான். இப்படி காத்திருந்து சிக்காடோவை கொன்று தின்னும் அந்த பூச்சி இனமே இப்போது அழிந்துவிட்டது என்கிறார்கள். பாவம் சிக்காடோ, இது தெரியாமல் கூர்ப்பின் காரணமாக இன்னமும் பதினேழு வருடங்கள் மண்ணுக்கு கீழே வாழ்க்கையை கழிக்கிறது. இயற்கையின் அளப்பரிய ஆச்சரியங்களில் ஒன்று இது.

நூலக எரிப்பு!

பைதகரஸ் இத்தாலியில் இப்படி எண்களை வைத்துக்கொண்டு ஆராய்ச்சி செய்கையில், காலப்போக்கில் அங்கேயும் போர் வந்து, அவரை அவர் நிறுவனத்தோடு தீக்கிரையிட்டு கொன்றுவிட்டார்கள்!

பின்னாலே அலக்சாண்டர் காலத்திலும் அவனுடைய சகோதரனின் ஆட்சிக்காலத்திலும் அலக்சாண்டரியா நகரத்தை அபிவிருத்தி செய்யவென நூலகம் ஒன்றை அமைத்தார்கள். சிறந்த நூலகத்தை அமைத்தால் புத்திஜீவிகள் எல்லாம் அந்த ஊருக்கு வருவார்கள் என்று பெரியவர் ஒருவர் சொல்லிவைக்க, அரசன் நூலகத்தை மிகப்பிரமாண்டமாக அமைக்க உத்தரவிட்டான். புத்தகங்கள் நாலா திசையிலிருந்தும் கொண்டுவரப்பட்டன. அந்த நகருக்கு வந்தவர்களிடமும் ஏதாவது புத்தகம் இருந்தால் அது வீரர்களால் பறிமுதல் செய்யப்பட்டு நூலகம்வசம் ஒப்படைக்கப்பட்டது. நஷ்டஈடாக புத்தகத்தின் கையெழுத்து பிரதி ஒன்றை திருப்பி கொடுப்பார்கள். ஒரிஜினல் நூலகத்தில்.

The_Burning_of_the_Library_at_Alexandria_in_391_AD

வழமைபோல அந்த நூலகமும் கிளியோப்பத்ரா காலத்தில் ஜூலியஸ் சீசரால் எரிக்கப்பட்டது. பினனர் வேறோர் இடத்திலிருந்த நூலகத்தை அப்படியே பெயர்த்தெடுத்துக்கொண்டுவந்து பழைய இடத்திலேயே நிர்மாணித்தார்கள். பின்னர் அது மதவாதிகளால் எரிக்கப்பட்டது.

இப்படி மாறி மாறி புத்திஜீவிகளும், நூலகங்களும் எரிக்கப்படுவது இன்று வரைக்கும் தொடர்கிறது. இருபது வருடங்களுக்கு முன்னர் லட்சக்கணக்கான புத்தகங்களோடு யாழ் நூலகத்தை எரித்தார்கள். பின்னர் கரியைத்துடைத்து கட்டடத்தை எழுப்பினார்கள். இன்றைக்கும் ஐஸிஸ் தீவிரவாதிகள் ஈராக்கின் புராதன நினைவு கட்டடங்களை இடிக்கிறார்கள்.  தலிபானும் அந்த வேலையை பார்த்தது.

முடிவிலி முதன்மை எண்ணில் வாழ்க்கை வட்டம் இருந்தாலே இந்த எருமைகளிடமிருந்து நம்மை காப்பாற்றிக்கொள்ளலாம் என்று எண்ணத்தோன்றுகிறது.

இலியானாவா? எருமையா?

மீண்டும் அந்த இலியானா கதைக்கு வருவோம். நிங்கள் அறை A யினை தேர்ந்தெடுக்கிறீர்கள். பின்னர் அறை Cயில் எருமைமாடு இருக்கிறது என்று சொல்லி சூரியா அதனை தள்ளி வைக்கிறார். இப்போது உங்களுக்கு விருப்பமென்றால் அறை B க்கு தெரிவை மாற்றும் சந்தர்ப்பம் தரப்படுகிறது. மாற்றினால் இலாபமா என்றால், மூச்சைப்பிடியுங்கள். பயங்கர லாபம்.

A யிலே இலியானா இருப்பதற்கான சாத்தியம் முப்பத்திமூன்று வீதம் என்றால், Bயிலே இலியானா இருப்பதற்கான சாத்தியம் இப்போது அறுபத்தாறு வீதம் ஆகிவிட்டது.

என்னடா இது? இரண்டு அறைகள். ஒன்றில் இலியானா, மற்றையதில் எருமைமாடு. ஐம்பதுக்கு ஐம்பது வீதம்தானே. எப்படி Bயில் அறுபத்தாறு விகிதம் சாத்தியமானது? என்றால், அதுதான் மூளைக்கும் கணிதத்துக்குமான வித்தியாசம். முன்னமேயே சொன்னதுபோல நம் மூளை வரலாற்றை வைத்து நிகழ்தகவை அனுமானிக்கும் ஆற்றலை இன்னமும் பெறவில்லை. எப்படி ஆதிகாலத்தில் மானுக்கு பயந்து, புலிக்கு அஞ்சாத மனிதமூளை இருந்ததோ அதுபோலத்தான் இதுவும்.


யோசியுங்கள். ஆரம்பத்தில் Aயில் முப்பத்துமூன்று வீதம் இலியானா இருப்பதற்கான சாத்தியம் இருந்தது. அப்படியானால் B அல்லது C யில் இலியானா இருப்பதற்கான சாத்தியம் அறுபத்தாறு வீதம் அல்லவா. அந்த இரண்டு அறைகளுக்கும் சேர்த்து ஒரு அடைப்பு போடுங்கள். இப்போது அந்த அடைப்புக்குள் இலியானா இருப்பதற்கான சாத்தியம் அறுபத்தாறு அல்லவா. பின்னர் அந்த அடைப்புக்குள் இருந்து அறை C யை அகற்றிவிட்டாலும் அடைப்பினுள் இலியானா இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு மாறப்போவதில்லை.  அது அறுபத்தாறு வீதம்தான். சூர்யா தீர்மனாமாக Cயை அகற்றிவிட்டதால் அடைப்புக்குள் இப்போது இருப்பது அறை B மட்டுமெ என்பதால் அதன் சாத்தியம் அறுபத்தாறு விகிதம் ஆகிவிடுகிறது.

இதை ஆங்கிலத்தில் மொண்டி ஹால் சிக்கல்(Monty Hall Paradox) என்று ஆட்டையும் காரையும் வைத்து சொல்லுவார்கள். நம்மாளுக்கு இலியானா என்றால் கொஞ்சம் கில்பான்சா இருக்குமென்று மாற்றிவிட்டேன். முதன்முதலில் அலுவலகத்தில் நண்பன் மைல்ஸ் இதனை சொன்னபோது நம்பவே முடியவில்லை. அது பற்றி எவ்வளவு வாசித்தும் ஏற்றுக்கொள்ள மனம் மறுத்தது. நான் என்றில்லை ஆயிரக்கணக்கான பிஎச்டி மேதைகளே ஐம்பதுக்கு ஐம்பதுதான் சரியான விடை என்று சொல்லியிருக்கிறார்கள். ஆற்றாக்குறைக்கு நானே ஒரு ஜாவா புரோகிராம் எழுதி ஆயிரம் சாம்பிளுக்கு ரன் பண்ணியபிறகுதான் மூக்குடைந்தேன்.

ஆரம்ப நிகழ்தகவு கடைசிவரை மாறவில்லை என்பதுதான் இதன் ஆதார உண்மை.


இந்த இலியானா கதையில் அறைகளின் எண்ணிக்கையை நூறு ஆக்குங்கள். தொண்ணூற்றொன்பதில் எருமைகளும் ஒன்றில் இலியானாவும் என்று வையுங்கள். சூரியா ஒவ்வொன்றாக எருமை உள்ள அறைகளை அகற்றுகிறார். இறுதியில் நீங்கள் தெரிவு செய்த அறையும் மீதி இன்னொரு அறையும் எஞ்சியிருக்கிறது. நீங்கள் தெரிந்தெடுத்த அறையில் இப்போது இலியானா இருக்கும் சாத்தியம் வெறும் ஒரு வீதமே. எதிர் அறையில் இலியானா இருக்கிற சாத்தியம் தொண்ணூற்றொன்பது வீதம். இருப்பதே இரண்டு அறைகள்.

இது மேலும் குழப்பமாவது எப்போது என்றால், இப்போதுதான் டிவியை ஒருவர் ஓன் பண்ணுகிறார். அவருக்கு நடந்தது எதுவுமே தெரியாது. அவரிடம் A யிலா Bயிலா இலியானா இருப்பார் என்று கேட்டால் அவருக்கென்னவோ சாத்தியம் ஐம்பதுக்கு ஐம்பது வீதம்தான். எங்களுக்கு வரலாறு தெரியுமென்பதால் அது ஒரு கூடுதல் டாட்டா. அதனால் நிகழ்தகவு மாறுகிறது. ஒரே விடயம்தான். ஆனால் தகவல்களின் அடிப்படையில் நிகழ்தகவு மாறுகிறது. சூர்யாவிடம் கேட்டால் ஒரு அறையை நூறு வீதம் என்றும் மற்றையது பூச்சியம் என்றும் சொல்லுவார். அவருக்குத்தான் இலியானா இருக்குமிடம் தெரியுமே!

ஆக, அறையை A இலிருந்து B க்கு மாற்றுங்கள். இலியானாவுடன் டேட்டிங் போகும் சாத்தியத்தை அதிகரியுங்கள். அஸ்கு லஸ்கா டூயட்டுக்கு தயாராகுங்கள்.

முக்கோணங்கள் படிப்பேன் உன் மூக்கின் மேலே

விட்டம் மட்டம் படிப்பேன் உன் நெஞ்சின் மேலே

மெல்லிடையோடு வளைகோடு நான் ஆகிறேன்.

  aedovf9efrp1zirl.D.0.Vijay-and-Ileana-D-Cruz-Nanban-Tamil-Film-Stills

பைதகரஸ் இப்போது இருந்திருந்தால் “இயற்கையே கணிதம்” என்பதற்கு பதிலாகா இப்படி சொல்லியிருப்பார்.

இலியானாவே கணிதம்!

 


Photo Credits :
moviegalleri.net
www.naturephoto-cz.com
business.dinamalar.com
reddif.com
www.cicadamania.com


15 comments :

  1. எங்கள் ஊர் 'சிக்காடா'க்கள் (தமிழில் சில்வண்டு) எதற்கும் துணிந்தவை. அதனால் தான் அவை 13, 17 வருடங்களுக்கு ஒரு முறை மட்டும் வெளியே தலைகாட்டாது ஒவ்வொரு வருடமும் வெளிவருகின்றன.

    ReplyDelete
    Replies
    1. வருடத்துக்கொருமுறை சில்வண்டுகள் சமயத்தில் மாசங்களை சிகிப் பண்ணலாம் பாஸ் ;)

      Delete
  2. I guess this phenomena happens caz
    if your first choice is wrong (66% chances)
    in a one room illiyana will be there.
    and buffalo will be in another room.

    suriya will open one of the remaining the door , which illiyana is not there.
    which leaves if your first choice is buffalo , the door suriya kept close will be definitely illiyana.

    so in your first chance you will most likely go with wrong choice ( buffalo - 66%).
    so when you switch it at the end you will get 66% of chances of getting illiyana.

    ps: i am not sure though. i need to dig this when i get free time

    ReplyDelete
    Replies
    1. Fair enuf JJ. It's a proof by contradiction. The point is to split the set into two which you grasped well.

      There is a hitch in this problem which I left out to avoid any confusion. This outcome was all possible because Suriya was absolutely knew that C(100%) got the ox. Instead if we randomly picked a door and if was ox(probability not 100, but 33) then the switching would give only a 50% chance. Counter intuitive but that's the truth. That's why in deal or no deal switching the last suitcase wouldn't make a difference.

      Delete
  3. கதை, கவிதை மற்றும் கட்டுரை எழுத உங்களைபோல பலர் இருக்கலாம் ஆனால் தமிழில் இப்படியொரு அறிவூட்டும் 'வியாழ மாற்றம்' எழுத எனக்கு தெரிய உங்களை விஞ்ச யாரும் இருப்பதாக தெரியவில்லை - தொடருங்கள் [முடிந்தால் ஒவொரு வியாழனும்]. அத்துடன் '♫♫ உ.. ஊ.. ம ப த ப மா ♪♪' பார்த்து நாளாயிற்று Uthayan

    ReplyDelete
    Replies
    1. நன்றி அண்ணா. உங்கள் தொடர்ந்த ஊக்கத்துக்கு நன்றி. எழுத முயற்சி செய்கிறேன். இசை பற்றி அவ்வப்போது பேஸ்புக்கில் எழுதுவதுண்டு. நேற்றுக்கூட ஒன்று எழுதினேன். செட்டாக வேண்டும்.

      Delete
  4. Well written Anna. :)
    I recently watched a video on youtube, which explains the same logic visually well. Just wanted to share : https://www.youtube.com/watch?v=LMJ3SP5PrIU
    -Bavan

    ReplyDelete
    Replies
    1. Thank you. It was so hard for me to convince myself honestly until I written the program myself :D

      Delete
  5. எண்களை எடுத்து எழும்பிநின்று ஆடியிருக்கிறீங்க...பிரமாதம்.


    இலியானாவா, எருமையா என்பதற்கு ...”சரி” என்றால் 1 என்ற இலக்கமும் “இல்லை” என்றால் ௦ என்ற இலக்கமும் போதாதா? அப்போதே இரண்டு (துவித எண்கள்) இலக்கங்களுடனையே சிந்திக்காமல் விட்டிருந்தால்..........நாங்களும் “ புள்ளிவிபரவியலும் நிகழ்தகவும்” என்பதை நினைக்காமலே இருந்திருப்பம்.............

    -அஜந்தன்

    ReplyDelete
    Replies
    1. அண்ணே ஒண்டும் சைபரோடையும் பிரச்னையை முடிக்கேலாம இன்னொரு எருமை அல்லோ இருக்கு!

      Delete
  6. அண்ணே... மிகவும் சுவாரசியமான பதிவு... உங்கள் சுவாரசியமான எழுத்து நடை மிகவும் எளிமையாக விடயத்தை விளங்க வைக்க உதவியிருக்கு. ஆயிரம் தடவை ஒரே விஷயத்தை செய்து அதில் ஒரு 65% வெற்றி கிடைக்குமெனின் அதற்காக எதிர்வுகூறுதலின் படி 650 தரம் வெல்லுவான் தான். ஆனால் பரிசோதிக்கும் வாய்ப்பு வெகு அரிதாக இருக்கும் தருணங்களில் நிகழ்தகவை வைத்து முடிவெடுப்பதும் கண்ணை மூடிக்கொண்டு ஒண்டை தொடுவதும் ஒன்றில்லையா?

    ReplyDelete
    Replies
    1. நன்றி வீணா.

      //ஆனால் பரிசோதிக்கும் வாய்ப்பு வெகு அரிதாக இருக்கும் தருணங்களில் நிகழ்தகவை வைத்து முடிவெடுப்பதும் கண்ணை மூடிக்கொண்டு ஒண்டை தொடுவதும் ஒன்றில்லையா?//
      பரிசோதிக்கும் வாய்ப்பு அதிகம் இல்லாதபோதுதான் நிகழ்தகவை அதிகம் நம்பவேண்டும். நிகழ்தகவு ஆதாரமானது. கண்ணை மூடிக்கொண்டு தொடுறதைவிட நிறுவின நிகழ்தகவை நம்புறது சாத்தியத்தை அதிகரிக்கும் எண்டது என்னுடைய அபிப்பிராயம் :D

      இதில எனக்கு ஆச்சரியமானது எதென்றால் இந்த counter intuitive முடிவுகள் தான் ! அறையை மாத்தினா சான்ஸ் கூட எண்டத நம்பேலாம பியருக்கு வேற பெட் பிடிச்சிட்டன்!

      Delete
  7. //சின்னக்கணக்குத்தான். மூன்றில் ஒரு சான்ஸ். முப்பத்து மூன்று வீதம். ஏனைய இரு அறைகளில் ஒன்றினுள் இலியானா இருக்கும் சாத்தியம் அறுபத்தாறு வீதம். மூன்றில் இரண்டு சான்ஸ். குழப்பமில்லாத பள்ளிக்கால நிகழ்தகவு கணக்கு.//

    இதுதான் குழப்பத்தின் முதல் படி. அது எப்படி மற்ற இரு அறைகளில் 66 சதம் சான்ஸ் வரும்? முதல் அறையில் இலியானா உண்டா இல்லையா என்று தெரியாதிருக்கும் போது ஒவ்வொரு அறையிலும் இலியானா இருக்கும் சான்ஸ் 33 சதம்தான். வார்த்தைகளினால் குழப்பத்தை உண்டு பண்ணக்கூடாது. மற்ற 2 அறைகளில் ஒரு ஆறையைத் திறந்து விட்ட பிறகு மீதி இருப்பது இரண்டு அறைகள் மட்டுமே. அவைகளில் ஒன்றில் இலியானா இருக்கும் சாத்தியம் 50 சதம் மட்டுமே.

    ReplyDelete
  8. Unfortunately either this simulator has some malfunctions or the theory is wrong. Because, I tried switching several times and mostly lost the game. Please check it. Btw, to proof that issue, you can take the IP of this comment and use it along with my actions on the simulator. There you see what happened to me....!
    Thank you.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Its probability theory, so you need to let it run for few number of time to see the probable result. Calling head successful five times consequently doesn't make the probability of the coin flip 100% for head! Nevertheless, the theory is mathematically proven.

      Delete

இந்த பதிவின் நீட்சி தான் உங்கள் கருத்துகளும். தெரிவியுங்கள். வாசித்து மறுமொழியுடன் வெளியிடுகிறேன்.

அன்புடன்,
ஜேகே